Brøker er en revolution af børnenes talbegreb

”Jeg elsker brøker!” er noget af det første, Pernille Ladegaard Pedersen siger, da hun har taget telefonen. Og det er altså på trods af, at hun har beskæftiget sig så meget med dem, at de fleste nok kunne få stillet appetitten. Tidligere i år færdiggjorde hun således sin ph.d.-afhandling om brøker, når de optræder som rationale tal, og om at lære og forstå brøker i folkeskolen.

Efter det indledende udbrud indrømmer hun dog også, at hun måske lige efter aflevering godt kunne bruge en lille pause. Men nu er fascinationen tilbage for fuld styrke, som den har været det, siden hun for snart tyve år siden begyndte som folkeskolelærer. Det var her, hun for første gang oplevede, hvor store problemer eleverne havde med brøker.

”Jeg blev virkelig overrasket over, hvor svært de havde ved det. Helt op til 9. klasse forstod de ikke, hvad en brøk var. Og lige siden har det interesseret mig, hvorfor brøker er så vanskeligt tilgængelige”, fortæller Pernille Ladegaard Pedersen, som i dag er lektor ved læreruddannelsen i Aarhus.

Ekstremt overset problem

I modsætning til et naturligt tal kan et rationalt tal på en brøkform beskrive mange ting: Dels en en bestemt mængde, dels et forhold mellem tæller og nævner og dels en division. Og det er en stor del af grunden til, at eleverne har så svært ved at forstå dem, forklarer Pernille Ladegaard Pedersen.

”Inden for de naturlige tal er 4 jo større end 3, men inden for brøker er 1/3 større end 1/4, og det er svært for dem at vende den om. På samme måde er det svært for børnene at forstå, at 1/2 og 2/4 er det samme, for det er jo forskellige tal,” siger hun og fortsætter:

”Det er et problem, som er ekstremt overset, og det er noget, som det er meget, meget vigtigt, at børnene får en grundlæggende forståelse for. For hvis du ikke forstår, at 1/4 er det samme som 3/12, og at 1/3 er lig med 4/12, så mangler du en forståelse af, hvad fællesnævneren er, når de brøker lægges sammen, og så virker det hele som det rene hokuspokus.”

For at kunne sammenligne og regne med brøker har eleverne med andre ord behov for at kunne omskrive brøkerne. Med de naturlige tal kan de sagtens dele 8 muffins mellem 4 mennesker, forklarer Pernille Ladegaard Pedersen. Men når der er 4 muffins, som skal deles i 8 mennesker, så er det, at eleverne måske opdager, at der er brug for nye tal til at beskrive, hvor mange de hver især skal have.

Selv om der er 'stoftrængsel' omkring 4. klasse, handler det som lærer om at tage sig tiden til det

Pernille Ladegaard Pedersen, lektor og ph.d.

Tallinjen er helt central

Pernille Ladegaard Pedersen understreger, at styrkelsen af elevernes forståelse for brøker ikke sker fra den ene dag til den anden. Til gengæld er der nogle ting, som lærerne kan fokusere på for at øge chancerne for, at eleverne tager de nye tal til sig.

”Det er hele deres forståelse af tal, der skal ændres. Det er simpelthen en revolution af deres talbegreb, og det tager tid. Så selv om der er 'stoftrængsel' omkring 4. klasse, handler det som lærer om at tage sig tiden til det, og derudover er der flere aspekter, som det er godt at fokusere på: Hvad man kan bruge brøkerne til, hvordan de hænger sammen med de naturlige tal – hvornår de opfører sig ens, og hvornår de opfører sig forskelligt – samt at arbejde med, at der pludselig mellem to tal er uendeligt mange tal. Før vidste de, at 7 kom efter 6, men med brøker kan man ikke bare tælle sig frem til det næste tal i rækkefølgen,” forklarer hun.

Pernille Ladegaard Pedersen anbefaler desuden, at lærerne bruger mange forskellige repræsentationer, fx cirkeldiagrammer og blokbrikker såsom cuisenaire-stænger, og så understreger hun, at brugen af tallinjen, hvor man kan sætte brøkerne ind sammen med de naturlige tal, er helt central.

”En god øvelse er også at bede eleverne om at skrive den mindste brøk, de overhovedet kan finde på – og så se dem skrive de største tal, de kan forestille sig som nævneren. Det er godt at få den forståelse på plads,” siger hun.

Det er også en god ide at koble hverdagssituationer til forståelsen af brøker. Helt op til 6. klasse er det for eksempel et problem for eleverne at forstå, at 1/4 er lig med 2/8, men Pernille Ladegaard Pedersen fortæller  om en pige, der forstod det ved at tænke på, at hun var på besøg hos din mormor og enten tog to små stykkker lagkage eller et enkelt, der var dobbelt så stort som et af de små.

”Så det gælder om at bruge de hverdagserfaringer, som viser, at brøkerne er logiske og ikke sådan noget abstrakt noget.”

Differentier undervisningen

Pigen her var en af de dygtige elever, og Pernille Ladegaard Pedersen fortæller, at hun i sin undersøgelse fandt, at de højtpræsenterende elever også fik forstærket deres forståelse af brøker, når de arbejdede med multiplikation og division. De kunne nemlig se sammenhængene med brøkregningen – fx kunne nogle se, hvordan forholdet mellem tæller og nævner forblev det samme, når de begge blev multipliceret med det samme tal. Til gengæld lærte de svagere eleverne kun om brøker, når de havde specifikt om det, ligesom de faldt fra, når det blev for abstrakt.

Derfor slutter hun med at anbefale, at man så vidt muligt indholdsdifferentierer undervisningen:

”Man kan sætte dem, der har svært ved det, til at finde ud af, hvor meget 1/4 af 20 er, mens de dygtige kan prøve at svare på, hvad 1/1 er, hvis 1/4 er 20. Her arbejder alle med den samme brøk, men med forskelligt abstraktionsniveau. Den slags differentiering bør man være meget opmærksom på i undervisningen.”